数学中的公理无法被证明，那么公理是如何保证自己是正确的?(数学公理怎么证明)

公理的正确性不来自假设。我们假设1+1=3，并不因为我们这样假设了，它就是正确的。

公理的正确性也不来自实践。实践生产不出来真理，就算天天实践把石头当饭吃，也是不会成功的。真理来自物自身，由事物自己决定。所以，马克思主义的认识路线第一条就是一切从实际出发，真理就蕴含在实际中。

公理约束的世界，一般叫做体系，也可以叫做理的国度。公理总是在一个体系中，每个体系都有固定成员，成员之间有固定的关系。公理和定理，都是描述成员之间的关系的。

因此，理的国度与人的国度是相似的。公理类似宪法，定理类似法律。法律来自宪法，定理来自公理。宪法是哪里来的？来自全体公民的共同意志，是每个人都同意的。公理则来自体系内成员的共同意志，是每个成员都同意的。

以自然数的加法运算体系为例，加法是自然数的一种行为，这种行为是要受约束的，约束它们的就是加法的公理和定理。这里的公理和定理来自自然数本身的意志，是由自然数自己决定的，不是任何外在的力量决定的。如果对任何一个自然数例外，它就不是自然数加法体系的公理或者定理。因此，在这里，保证定理与公理正确性的，就是自然数，而不是其它。

公理和定理之间的桥梁是逻辑推理，公理通过逻辑推理可以得出全部定理。宪法与法律的关系也类似。人们怎样制定宪法，与自然数怎样制定加法公理，道理是一样的。

首先是要尽可能简单，让人能够一目了然。其次是要尽可能严谨，就是足够用，不至于用它推不出某个定理。当然，总有一些法律擦边球行为，难以判定其是否合乎法律。同样也总有一些加法问题，不能根据加法公理或者定理判定对错，这就是哥德尔不完全性定理所说的。

因此，定理与公理并无本质区别，区别仅仅是公理处于推理的前提位置，而定理处于结论位置。至于公理的独立性，并不是必须的，实用方便的公理体系中，公理经常是不独立的。

公理和定理既然是公理体系的成员决定的，只要这些成员没有发生变化，公理体系中的公理和定理就不会发生变化。天不变，道亦不变。因为道就是天道。但哪些做公理，哪些做定理，这却是可以变化的。这也就是铁打的衙门流水的官所说的道理。公理体系，仅仅是成员对约束自己的规则的逻辑化处理。因此，数学的根基并非公理，而是数学存在，就是数与形，数与形是永恒的存在，是无法消灭的。

由于数与形自己不会说话，需要人代言。代言人有时说错话是正常的，但并不意味着数学系统自身有错误。数学大厦永不倒，这个和物质世界永不灭，是一个道理。人是万物之灵长，是万物最合适的代言人，也是最有能力纠正错误的存在，人类抽象出了数与形，但数与形有自己的规律，这是不以人的意志为转移的，但人类对数学真理的认识却是可以逐步深入的。这个深入过程，是认识中真理含量逐步增加的过程，而不是否定真理的过程。因此，科学的大厦只会越来越坚固，而不会倾倒。数学的公理体系也是一样。

很多人解释的都有点问题。公理，它本身就没有对错之分，就更不用谈错误了怎么办。

什么是公理很多人都已经讲过了，我们举几个例子就明白了。

1.比如说经典的连续统假设。

通俗来说，这个假设的问题是:是否存在一个集合，它的元素个数比有理数多，比实数少。

这个命题被证明是无法证明对错的。数学家把这个假设分成了“存在”和“不存在”两条公理，各自延伸出来了不同的理论。

所以你看，这两条公理是完全矛盾的，在我们看来总会对一个吧？可事实就是，它们没有对错之分。

2.再举个例子，抽屉原理。

在皮亚诺公理体系下，也就是自然数公理，抽屉原理显然是正确的。可在量子力学里，抽屉原理就是不成立的。但你能说自然数公理有问题吗？恐怕也不能，但到底哪个对呢？好像也没有对错之分。

3.欧氏几何和黎曼几何

这个例子更明显了。欧氏几何里有平行线，黎曼几何里没有。哪个对？也是不分的，都是对的。

所以举这几个例子，想说明的就是，公理不是说它一定对，而是根本不分对错，它只是一种假设罢了。你会怀疑一个假设是对还是错吗？

别想多了，数学的公理，其实也就只有欧几里得的几何原本开头说的那几条，这些都是不证自明的，除此之外，其他的定理都需要被证明的。至于数学的危机是怎么产生的，比如第一次的数学危机是人们不知道还有无理数的存在，第二次数学危机是没有极限的概念，第三次就是集合的概念不完善。但都得到了解决。

数学公理就是"假设"。它不需要"保证自己正确"，它就是假设。

当然，数学公理是绝对不可以被证明的！一旦你可以证明，就意味着它不再是公理，而仅仅是一条定理了。最经典的案例就是几何学两千年的悬案：欧几里得第五公理（过直线外一点有且仅有一条平行于）到底是不是公理？有没可能找到证明从而把它降格为定理？直到19世纪初，才在高斯，罗巴切夫斯基，鲍耶等数学家的努力下，证明了第五公理"不可被证"，所以必须是欧几里得几何的公理！

同样，这个案例也说明了，公理无需"正确"，而仅仅是假设，比如，只要我们推翻第五公理，就可以创造出新的几何，非欧几何，过直线外一点可以没有平行线，也可以有很多乃至无数条平行线。这根本无所谓对错，都是假设，不同的假设构建了不同的几何而已。

实际上很多时候我们对这种看似反直觉的公理体系不加思考的嗤之以鼻，却对身边随处可见的例子视而不见。比如，球面就是非欧几何：球面上的直线按（按最短距离的要求）就是球的大圆（圆心即球心），所以很显然，球面上根本就没有平行线（注意纬线不是球面"直线"，而是"曲线"，因为不是连接两点最短的路径）。

所以请注意，数学的公理和物理的定律是有差别的，数学公理完全不需要超越数学的所谓"正确性"，就是简简单单的假设。对公理的唯二硬性要求就是：

1. 同一个体系内的公理之间不可有矛盾。
2. 公理不可以用其它公理证明。

应该这样说，公理不应该是“无法被证明”，而是“不需要去证明”，公理推导出定理的基础，是人们经过长期实践总结出来的规律，本身就被大家默认就是正确的，无法被证伪的，本身也是自洽的，也就是说你找不出公理的错误在哪里，既然无法证明是错的，那就是对的！

比如说，最简单的公理，两点之间直线最短，这个我们都知道，这条公理可以说是几何数学的基础，不需要去证明，如果非要证明，仍一根骨头给一只狗，狗会沿着直线去追骨头，狗都知道的道理还用去证明？

更重要的是，你真的找不出两点之间比直线短的方式存在，不信你试试！

同时，逻辑上分析，“试图证明公理是对的”这种想法本身就是错误的，也是不可能的。因为比如说你想证明公理甲，必然会有所依据（假设是依据乙），但你又如何证明依据乙就是正确的呢？你必须找到依据丙去证明依据乙的正确性……，如此无限循环下去！

所以，必然需要有一个不需要证明的公理存在，它是基础，我们也不用公理推论出来的定理去证明公理，这本身就是矛盾的！